【2022】九州大学入試問題数学大問３(理系）をとことんわかりやすく動画を使わずに解説します

参考書や予備校のサイトを利用して大学入試問題を勉強している人の中で「解説を読んでも理解できない」と思ったことはありませんか？

YouTubeなどに解説動画がありますが「通信環境がない」とか「動画を見るのはめんどう」思う人も多いでしょう。

この記事では読むだけで動画よりもわかりやすくどの参考書よりも細かく解説をしていきます。

2022九州大大問３（理系）

問題

整数の問題。

最大公約数を求める問題や不定方程式を解く問題だが、やや複雑な部分もある。

以下で紹介するが、合同式などをうまく利用して取り組んでほしい。

解説

(1) の解説

まずは問題文の式の形が分数なので、整数であることを示さなければならない。

次に互いに素であることを示す。

最大公約数をｇとおいてｇ＝１であることが示せればよい。

(2) の解説

① を変形する。

168=2³・3・7 と素因数分解されるので、n²-1 が３の倍数かつ７の倍数かつ８の倍数であることを示せばよい。

そのため、n²+1 が３の倍数、７の倍数でないことを示す必要がある。

n2+1 が３の倍数でない証明１

こちらは教科書に準じた解法となる。

n2+1 が７の倍数でない証明１

こちらも教科書に準じた解法となる。

n2+1 が３の倍数でない証明２

こちらは合同式を利用した解法となる。

証明１よりは解答が楽だ。

n2+1 が７の倍数でない証明２

こちらも合同式を利用した解法。

n2-1 が８の倍数である証明

この証明には「連続する２つの自然数の積は偶数となる」という性質を使う。

この性質はとても大事なので教科書等でしっかり理解しておこう。

(3) の解説

(2) で証明されたことを利用して不定方程式を解く。

⑪の不定方程式はまだ絞り込めていないので、以下のように絞り込んでいく。

⑬の不定方程式にはいくつかの組み合わせがあるが、求めるのはそのうちの１組でいいので、１つみつかり次第解答を終わりにしてよい。

ただし、841 や1681が平方数であることに気づくのは難しいかも。

終わりに

整数の問題はいろいろな分野に登場するが、この問題は整数の分野だけで完結している。

教科書を中心とした解き方ではあるが、内容が深いため難易度は少し高い。

証明問題や不定方程式の練習にちょうど良い問題だといえる。