【2022】大阪公立大学入試問題数学大問3(理系)をとことんわかりやすく動画を使わずに解説します

大阪公立大理大問3 2022大阪公立大

参考書や予備校のサイトを利用して大学入試問題を勉強している人の中で「解説を読んでも理解できない」と思ったことはありませんか?

YouTubeなどに解説動画がありますが「通信環境がない」とか「動画を見るのはめんどう」思う人も多いでしょう。

この記事では読むだけで動画よりもわかりやすくどの参考書よりも細かく解説をしていきます。

2022大阪公立大大問3(理系)

問題

問題の写真
とりこ
とりこ

前半は整数の問題だけど後半は複素数の問題ね

とりでん
とりでん

複素数平面はいろんな分野との融合問題を見かけるので練習が必要だね

この問題で大事なことは次の2つ

  1. 問題が誘導になっていることに気づく
  2. 証明問題の方針の立て方をしっかり考える

解説

とりこ
とりこ

(1)(2)は何とかなりそうだけど(3)(4)は見るからに難しそうね

とりでん
とりでん

(3)(4)は「示せ」の問題なので解くための方針をしっかり考える必要があるよ

(1)の解説

とりこ
とりこ

これは1次不定方程式の特殊解を求める問題ね

とりでん
とりでん

ユークリッドの互除法を使ってもいいけど計算が大変になるので、数字が小さいときは使わずに見つけたいよね

この問題は次の解答のように整式の「割る数、商、余り」の関係を考えると求めやすいよ。

解答の写真

(2)の解説

とりこ
とりこ

存在しないことを示せ」は難しくない?

とりでん
とりでん

ここは左辺と右辺の「矛盾」を説明する証明だよ。

1次の不定方程式px+qy=1は「pとqが互いに素」でないと成立しないんだよ

解答の写真

(3)の解説

つぶこ
つぶこ

ここから複素数の問題ね。

とりでん
とりでん

ここで使う「ド・モアブルの定理」を復習しておこう。

解説のイラスト
解答の写真

この証明の解法の根拠になる部分を説明するね。

解説のイラスト
解答の写真

(4)の解説

つぶこ
つぶこ

これも証明問題ね。

とりでん
とりでん

「pとqは互いに素」を示すには背理法を使うよ。

解答の写真

ここの計算では複素数の積を使うよ。

解説のイラスト

三角関数の方程式は少し難しい部分があるよ。

解答の写真
解説のイラスト
解答の写真

終わりに

国公立の個別試験でよく見かけるのが「前半の誘導を利用した解法」だね。

前半部分は基本がしっかりしていれば得点源になる部分で、さらに後半のヒントにもなっているので間違えないようにしっかり解く練習をしておきたいところだね。

整数の証明問題は「背理法」を用いて矛盾することをいうパターンが多いのでしっかり練習しておこう。

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