参考書や予備校のサイトを利用して大学入試問題を勉強している人の中で「解説を読んでも理解できない」と思ったことはありませんか？
YouTubeなどに解説動画がありますが「通信環境がない」とか「動画を見るのはめんどう」思う人も多いでしょう。
この記事では読むだけで動画よりもわかりやすくどの参考書よりも細かく解説をしていきます。
2022大阪公立大大問２（文系）
問題
面積の問題は積分かな？
そうだね。それに円の面積も入っているから少し難しいね。
この問題で大事な事は次の２つ
- 積分を使った面積と扇形の面積を合わせる問題。
- ２曲線の共有点を求める問題はグラフで考える。
解説
(1) は a と b の値が与えられているので何とかなりそう
この問題は (2) が難しそうだね。
(1) の解説
直線や放物線の面積問題は多いけど、円を使った問題はあまり見ないわ。
数学Ⅲの積分の分野ではよく出題されるんだけどね。
ここで使う公式は扇形の面積公式だよ。
問題を把握するためにグラフを書いてみよう。
問題が把握できたら次は解き方を考えてみよう。
数学Ⅱまでの範囲では円の積分計算ができないので、図の中からまず扇形を見つけて残った部分を積分を使って計算するんだね。
さらに計算を楽にするために、ｙ軸での図形の対称性を利用するといいよ。
普通はｙを消去するんだけどｘの４次式になるのでここではｘを消去してｙの２次式を作ることにするよ。
(2) の解説
共有点の話は判別式ね
確かにそうだけど方程式に範囲が付いていると他にも条件が必要になるよ。
ここでは数学Ⅰの２次関数で学習した解の判別を使うよ。放物線の軸の位置やｙ切片の符号とかを考える問題に類似してるんだ。
共有点をもつ条件を求めるには関数とｘ軸（この問題はｙ軸）との交点の有無を調べるといいよね。
このとき大事なのはｙに範囲の制限があるということ。なので判別式だけでは条件が求まらないんだよ。
まずは判別式から
次に定義域の両端の符号を調べるよ。符号が異符号なら必ず解をもつけど同符号ならさらに軸に制限がかかるよ。（↓参考）
定義域の両端で同符号になったので次は軸の位置に制限をかけるよ。
終わりに
今回の問題は数学Ⅰと数学Ⅱを横断した問題が使われていたね。
(1)の面積を求める問題は数学Ⅱの積分を使って、(2)の共有点をもつ条件は数学Ⅰの２次関数の知識を使うんだね。
特に(2)の２次関数の応用問題は入試で頻出なのでよく練習しておこう。
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