【2023】京都大学入試問題数学大問６(理系）をとことんわかりやすく動画を使わずに解説します

参考書や予備校のサイトを利用して大学入試問題を勉強している人の中で「解説を読んでも理解できない」と思ったことはありませんか？

YouTubeなどに解説動画がありますが「通信環境がない」とか「動画を見るのはめんどう」思う人も多いでしょう。

この記事では読むだけで動画よりもわかりやすくどの参考書よりも細かく解説をしていきます。

2023京都大大問６（理系）

問題

三角関数と整数の融合問題。

(2)を求めるには、(1)の誘導をうまく利用する必要がある。

数学的帰納法や背理法も用いるので、様々な分野の融合問題といえる。

解説

(1) の解説

２倍角や３倍角の公式を用いてもよいが、(2)のことも考えて以下の解説の中にあるように「和を積に直す公式」を用いて求める。

(2) の解説

存在するか否かを判定するのに「背理法」を用いて、存在すると仮定した解答を作り矛盾することを示す。

その中で (1) から cosnθ の最大次数の係数を推定し、それを数学的帰納法で証明する。

上で証明した最大次数の係数を確認したら次の次数以下は整数となることを確認する。

最大次数の部分が整数にならないことを示して矛盾部分を説明する。

終わりに

(2) の証明は難易度が高い。

(1) の誘導を使って最大次数の係数が偶数であることに気付く必要がある。

素数の関係する問題としては見かけることのある証明かもしれないが、この問題のように様々な分野との融合問題になっていると対応できない受験生もいるかもしれない。

この問題を通してしっかり解答を理解し、この手の問題に対応できる力を身に着けてほしい。