参考書や予備校のサイトを利用して大学入試問題を勉強している人の中で「解説を読んでも理解できない」と思ったことはありませんか？
YouTubeなどに解説動画がありますが「通信環境がない」とか「動画を見るのはめんどう」思う人も多いでしょう。
この記事では読むだけで動画よりもわかりやすくどの参考書よりも細かく解説をしていきます。
2023北海道大大問２（理系）
問題
空間ベクトルの問題。
後半は球面と直線の交点を求める。
ベクトルで頻出の直交条件を用いるのだが、別解にあるようにベクトルの外積を使ってもよい。
解説
まずは問題を把握するために以下のような図を書こう。
(1) の解説
図から３点 P , A , B の位置関係が把握できたら、２点間の距離を使って AP の長さを求める問題。
(2) の解説
ベクトルの大きさを使ってまずは1つ目の式を作る。
次にベクトルの直交条件である内積が 0 であることを用いて２つ式を立てる。
あとはこれら３つの式を連立して点 P の座標を求める。
(2) の別解
ベクトルの外積を用いると複数文字を置くことなく、点 P を求めることができる。
授業や教科書では外積を取り上げることも少ないので、これを機会にしっかり練習しておこう。
(3) の解説
直線と球面の交点を直接求める方法で解説する。
他にも２つの交点を文字でおいて処理する方法もあるが、これくらいの計算量だと交点をダイレクトに求めたほうがよさそうだ。
終わりに
空間ベクトルでは球面の問題もよく見かけるようになった。
解説で取り上げたように、ベクトルの外積や空間における平面方程式、点と面との距離など教科書ではあまり取り上げないような公式も使えるようになっておいたほうが有利に進めることができる。
空間の問題は数学Ⅲの体積の分野でも頻出なので、空間を把握する力をつけておきたいところだ。
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